함수의 내적
지금까지 우리는 길이, 각도, 거리를 계산하기 위해 내적의 성질들을 살펴보았다. 우리는 유한 차원 벡터의 내적에 집중했었다. 다음으로, 우리는 다른 유형의 벡터인 함수의 내적에 대한 예를 살펴볼 것이다.
$\quad$ 지금까지 논의한 내적은 유한한 개수의 성분을 가진 벡터에 대해 정의되었다. 우리는 $x \in \mathbb{R}^n$ 인 벡터를 $n$ 개의 함수 값을 가진 함수로 생각할 수 있다. 내적의 개념은 무한한 개수의 성분을 가진 벡터(가산 무한)와 연속된 값을 가진 함수(비가산 무한)로 일반화될 수 있다. 그러면 벡터의 개별 성분들에 대한 합(예를 들어 식 3.5 참조)은 적분으로 바뀐다.
$\quad$ 두 함수 $u: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 와 $v: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 의 내적은 다음과 같은 정적분으로 정의될 수 있다:
여기서 하한과 상한은 각각 $a, b < \infty$ 이다. 우리의 일반적인 내적과 마찬가지로, 내적을 살펴봄으로써 노름(norm)과 직교성을 정의할 수 있다. 만약 (3.37)이 0으로 평가된다면, 함수 $u$ 와 $v$ 는 직교한다. 앞선 내적을 수학적으로 엄밀하게 만들기 위해서는 측도(measures)와 적분의 정의를 다루어야 하며, 이는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 정의로 이어진다. 게다가 유한 차원 벡터의 내적과 달리, 함수의 내적은 발산할(무한대의 값을 가질) 수 있다. 이 모든 것은 실수 해석학 및 함수 해석학의 더 복잡한 세부 사항으로 들어가는 것을 요구하므로, 이 책에서는 다루지 않는다.
$\to$ 식 (3.37)은 무한 차원 벡터 내적의 극한 형태이다.
정적분이 내적인지 성립하려면 다음을 만족하는지 확인하면 된다.
- 대칭성 (Symmetry): 순서를 바꿔도 결과가 같음.
- 선형성 (Linearity): 적분의 성질에 의해 성립한다.
- 양의 정부호성 (Positive Definiteness): 자기 자신과의 내적은 항상 0보다 크다.
(실수 제곱은 항상 양수이므로 넓이도 양수이다. 또한 함수가 0일 때만 적분값이 0이 된다.)
예제 3.9 (함수의 내적)
만약 우리가 $u = \sin(x)$ 와 $v = \cos(x)$ 를 선택한다면, 식 (3.37)의 피적분 함수 $f(x) = u(x)v(x)$ 는 그림 3.8에 나타나 있다. 우리는 이 함수가 기함수(odd), 즉 $f(-x) = -f(x)$ 임을 알 수 있다. 따라서, 이 곱의 한계 $a=-\pi, b=\pi$ 를 갖는 적분은 0으로 평가된다. 그러므로 $\sin$ 과 $\cos$ 는 직교 함수이다.
$\to$ sin함수는 원점 대칭인 기함수이고, cos함수는 y축 대칭인 우함수이며, 두 함수의 곱은 기함수이다. 기함수를 대칭 구간( $-\pi$ 에서 $\pi$ )에서 적분하면, 양의 면적과 음의 면적이 완벽하게 상쇄되어 0이 된다.
참고 (Remark). 또한 다음 함수들의 모임은
우리가 $-\pi$ 에서 $\pi$ 까지 적분할 때 직교한다. 즉, 임의의 함수 쌍은 서로 직교한다. (3.38)의 함수들의 모임은 $[-\pi, \pi)$ 에서 우함수(even)이고 주기적인 함수들의 큰 부분 공간을 생성(span)하며, 함수들을 이 부분 공간으로 투영하는 것이 푸리에 급수(Fourier series)의 배후에 있는 근본적인 아이디어이다.
$\to$ 위 함수들의 모임에서 첫 번째 원소 $1$ 은 $\cos(0 \cdot x) = \cos(0) = 1$ 을 말한다. 이는 주기 함수를 y축으로 대칭이동 시키는 역할을 한다. 또한 위 함수들은 우함수를 span하는 기저이지 기함수는 span하지 못한다. ‘함수들의 큰 부분공간을 생성하며,’가 그뜻이다.
$\quad$ 6.4.6절에서, 우리는 두 번째 유형의 관습적이지 않은 내적인 확률 변수의 내적을 살펴볼 것이다.